Fonction étagée \(f\)
Fonction mesurable \(f:(E,\mathcal A)\to({\Bbb R},{\mathcal B}({\Bbb R}))\) ne prenant qu'un nombre fini de valeurs.

• on note \(\mathcal E\) l'ensemble des fonctions étagées
    
• on appelle parfois cet ensemble l'espace des fonctions simples
    
• \(\mathcal E\) est dense dans l'ensemble des fonctions mesurables
• on a l'écriture : $$f=\sum^n_{i=1}\alpha_i\Bbb1_{A_i} $$ avec \((\alpha_i,A_i)\in{\Bbb R}\times\mathcal A\) et \(\forall i\in[\![1,n]\!]\), les \((A_i)_i\) sont disjoints
    
• on peut alors définir l'intégrale d'une fonction étagée positive par rapport à une mesure \(\mu\) : $$\mu(f)=\int f\,d\mu:=\sum^n_{i=1}\alpha_i\mu(A_i)$$

//Fonction en escalier

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un résultat de densité important sur l'ensemble des fonctions étagées.
Verso: L'ensemble des fonctions étagées est dense dans l'ensemble des fonctions mesurable.
Ainsi, une fonction mesurable peut être écrite comme une limite croissante simple de fonctions étagées. $$f=\lim\uparrow f_n$$
Bonus:
END